Κανένα ολοκληρωμένο έργο που να αφορά την εσωτερική σημασία των αριθμών δεν έχει διασωθεί, Πέραν από ένα σύγγραμμα που αποδίδεται στον Ιάμβλιχο, το Περί θεολογουμένης Αριθμητικής, στο οποίο αναπτύσσονται οι ιδιότητες των 10 πρώτων αριθμών από μαθηματικής και αρμονικής πλευράς και παρέχονται πολυάριθμα προσηγορικά ονόματα για τον κάθε ένα.
Το σύγγραμμα αυτό περιέχει μέρη από την ομώνυμη χαμένη πραγματεία του Νικομάχου του Γερασηνού, από το χαμένο σύγγραμμα του Ανατόλιου (Περί της Δεκάδος και των Αριθμών), του δασκάλου του Ιάμβλιχου και από κάποια χωρία που έχουν γραφεί από κάποιον άγνωστο μελετητή, ο οποίος πιθανόν να είναι ο Ιάμβλιχος, καθώς ο ίδιος αναφέρει τόσο τον Νικόμαχο όσο και τον Ανατόλιο.
Οι διδασκαλίες του Πυθαγόρα έχουν έρθει σε μας με πολύ μικρά αποσπάσματα και όχι άμεσα μέσα από τον ίδιο τον Πυθαγόρα. Ότι ξέρουμε για τις διδασκαλίες του καθώς επίσης και των Πυθαγορείων προέρχονται από ποικίλες πηγές μετά από το θάνατο του Πυθαγόρα. Σίγουρα, γνωρίζομε πως ο Πυθαγόρας δίδαξε κατ' εξοχήν τα μαθηματικά και τους αριθμούς, γενικά. Μια πηγή για αυτό είναι, ο Αριστοτέλης που έγραψε στα Μεταφυσικά του:
«Οι πυθαγόρειοι αφοσιώθηκαν στα μαθηματικά και ήταν οι πρώτοι στην ανάπτυξη αυτής της επιστήμης. Μέσα από την μελέτη των μαθηματικών, πίστεψαν πως οι αρχές των μαθηματικών είναι οι αρχές όλων. Επειδή οι αριθμοί είναι κατά στη φύση πρώτοι, φαντάστηκαν ότι θα μπορούσαν να αναγνωρίσουν στους αριθμούς και στα παράγωγα, περισσότερο παρά το πυρ, στη γη και στο ύδωρ ...; ...;..και δεδομένου ότι φάνηκε σαφές ότι όλα τα άλλα πράγματα στη φύση διαμορφώθηκαν επάνω στους αριθμούς και ότι οι αριθμοί είναι τα τελευταία πράγματα σε ολόκληρο το φυσικό κόσμο και ολόκληρος ο κόσμος είναι μια αναλογία ή ένας αριθμός».
Ένα μεγάλο μέρος σπουδαιότητας των αριθμών στη φιλοσοφία του Πυθαγόρα, μια λέξη που Πυθαγόρας ο ίδιος ήταν ο πρώτος που χρησιμοποιεί για να περιγράψει τον εαυτό του ως Φίλο-Σοφός (εραστής της φρόνησης), προήλθε από τη σημασία των ιερών αριθμών στα Ορφικά μυστήρια και από τις μελέτες του στην Αίγυπτο και αργότερα στη Βαβυλωνία και την Περσία. Για τους Πυθαγορείους, ο αριθμός δέκα ήταν ο πιο ιερός αριθμός και τον παρουσίαζαν ταυτόχρονα με τους άλλους πρωταρχικούς αριθμούς, που είναι οι αριθμοί ένα ως εννέα που κατέληγαν στο δέκα, σε ένα ιερό σύμβολο.
Ξέρουμε ότι οι Πυθαγόρειοι είχαν ένα μυστικό σύμβολο για να αναγνωρίζουν ο ένας τον άλλον. Αυτό το σύμβολο ήταν ένα σχέδιο δέκα σημείων γνωστό ως Τετρακτύς. Το σύμβολο αποτελούταν από τέσσερα επίπεδα που διαμόρφωναν σε ένα τρίγωνο με μια βάση τεσσάρων σημείων, ακολουθούσε ένα επίπεδο τριών σημείων, μετά ένα με δύο και τελικά ένα σημείο στο ανώτερο επίπεδο του συμβόλου. Αυτό το ιερό σύμβολο στους πυθαγορείους εκφράστηκε έτσι:
Η ανάγλυφη παράσταση της Τετρακτύος μπορεί να είχε την προέλευσή της σε μια παράσταση χαλικιών που χρησιμοποιούταν στη μελέτη των μαθηματικών, καθώς επίσης και στο πρώτο γράμμα της λέξης "Δεκάς" που είναι ένα τρίγωνο, το Δ είναι ένα τρίγωνο.
Αναπτύχθηκε μια μελέτη μυστικών ιδιοτήτων των αριθμών στη δεκάδα που ονομάστηκε αριθμολογία. Αυτή η μελέτη εξέταζε τις ιδιότητες και τις μαγικές δυνάμεις των αριθμών, συσχετίζοντας τους με τα ζωντανά και άψυχα αντικείμενα, καθώς επίσης και με Θεούς και Θεές. Το σύστημα αναφέρεται στον Τίμαιο του Πλάτωνα.
Η έννοια της Τετρακτύος μόλις κατανεμηθεί σε κάθε ατομική γραμμή και σημείο έχει μια μάλλον εντυπωσιακή ομοιότητα με το Δέντρο της Ζωής που χρησιμοποιείται στην Καμπαλά. Ακολουθούν τα παραδείγματα κάθε αριθμού της δεκάδας που χρησιμοποιεί η αριθμολογία και οι έννοιες που συνδέονται με την Τετρακτύ είναι οι ακόλουθες:
Μονάς: Ήταν το Ένα και αντιπροσώπευσε πολλές μεταφυσικές κυριότητες και έννοιες. Ήταν γνωστή ως Είδος, Πηγή ορίου και μορφής. Η Ευδαιμονία, ο Δημιουργός. Η ευτυχία, η αρμονία, η τάξη και η φιλία. Εξισώθηκε με τον Απόλλωνα, το Θεό του Λόγου και με τον Υπερίωνα, την κεντρική φλόγα και ταυτόχρονα με τον Ήλιο σαν κέντρο του κόσμου και το νόηση σαν κέντρο του ανθρώπινου σώματος.
Στο έργο "Περί Ίσιδος και Οσίριδος", Ο Πλούταρχος κάνει μιαν αναφορά στην πυθαγόρεια φιλοσοφία και τη θεοποίηση των αριθμών με πρώτη τη μονάδα, τον αριθμό ένα, το ον, το άρτιο (την μονάδα τους άνδρας ονομάζειν Απόλλωνα.) Αντιπροσώπευε επίσης την ενότητα και την τελειότητα. Είναι το Σημείο, η πηγή όλων των αριθμών.
Το καλό, το επιθυμητό, το ουσιώδες, το αδιαίρετο.
Ο Πυθαγόρας έλεγε πως διαφέρει η Μονάς από το Έν. Όμοια και η Δυάς από το Δύο.
Δυάς: Ήταν το Δύο. Για τους πυθαγορείους, αυτός ο αριθμός αντιπροσώπευσε το πρώτο στάδιο προς τη διαδρομή της δημιουργίας. Η δυάδα αντιπροσώπευσε την πόλωση, την αντίθεση, την απόκλιση, την ανισότητα, και την αστάθεια. Καλείται συχνά Τόλμη, καθώς διασκορπίζει την τελειότητα και την ενότητα της Μονάδας.
Είναι η γραμμή, η διαφορά, ο αριθμός της υπερβολής και της έλλειψης. Ο πρώτος θήλυ αριθμός. Η Δυαδικότητα.
Τριάς: Ο επόμενος αριθμός είναι ο αριθμός τρία. Οι Πυθαγόρειοι τον έβλεπαν ως πρώτο αληθινό αριθμό. Είναι ένα σύνολο που αντιπροσωπεύει την αρχή, τη μέση και το τέλος. Ο αριθμός αντιπροσωπεύει τον αρχή όλων που είναι ολόκληρα και τέλεια, τις τρεις διαστάσεις, και την τριμερή ψυχή.
Ο αριθμός υπονοεί επίσης από το Παρελθόν, το Παρόν και το Μέλλον. Ενσωματώνει τη φρόνηση και την πρόβλεψη, επειδή οι άνθρωποι που εξετάζουν και τα τρία μέρη του χρόνου θα επιλέξουν ένα σωστό σχέδιο δράσης. Η γνώση αντιπροσωπεύθηκε επίσης από την τριάδα, όπως ήταν οι δυνάμεις της προφητείας και της μοίρας. Για να συσχετίσουν την τριάδα με τις προφητείες, οι χρησμοί στα μαντεία στην αρχαιότητα γινόταν σε κοιλώματα που υποστηριζόταν σε ένα τρίποδα.
Δυνάμει της τριάδας, η ενότητα και η ποικιλομορφία αυτού που είναι αποτελούμενου, επιστρέφει στην αρμονία. Ο πρώτος περίεργος, άρρεν αριθμός.
Για τον αριθμό λοιπόν τρία, ο Ιάμβλιχος λέει, ότι είναι εξαιρετικού κάλλους και ευσχημοσύνης σε σύγκριση με όλους τους άλλους, επειδή κατέστησε τις δυνάμει ιδιότητες της μονάδας σε ενεργεία, εκφράζοντας την αναλογία, τη συνένωση και την αποτέλεση. Είναι δηλαδή ο πρώτος ενεργεία, επειδή υπερτερεί του ίσου και έχει κάτι περισσότερο από το ίσο στο ένα μέρος του (η μονάδα =1, η δυάδα =1+1, η τριάδα=1+2), ενώ το εξαιρετικό σε αυτόν είναι ότι αποτελεί τη συνέχεια των δύο πρώτων αιτιών και βεβαίως τη σύνθεση αμφοτέρων. Ο Ανατόλιος τον αποκαλεί "πλήρη" επειδή δείχνει τα πάντα και την αρχή και το μέσον και το τέλος, και για τον λόγο αυτό, όταν επαινούν τα υπέρμετρα τον χρησιμοποιούν ως πρόθεμα (τρισευτυχής ή τρισευδαίμονας), ενώ ο Νικόμαχος τον θεωρεί ως την έναρξη των αριθμών και το θεμέλιο της γεωμετρίας. Ο Νικόμαχος επίσης είναι αυτός που κάνει αναφορά στον αριθμό των σπονδών που οι άνθρωποι πρέπει κάνουν, αν επιθυμούν να εκπληρωθούν οι προσευχές τους.
Τετράς: Είναι ο αριθμός τέσσερα. Το τέσσερα αντιπροσώπευε την ολοκλήρωση. Για τους Πυθαγορείους, όλα και φυσικά και αριθμητικά ολοκληρώθηκαν στην πρόοδο του ενός μέχρι το τέσσερα. Το εξέφρασαν με τις τέσσερις εποχές, τα τέσσερα στοιχεία (γη, αέρας, πυρ και ύδωρ), τα τέσσερα ζωτικής σημασίας μουσικά διαστήματα και τα τέσσερα είδη πλανητικής κίνησης. Το τέσσερα απεικόνιζε την ευθύτητα και τη σταθερότητα.
Ο Πλάτων χρησιμοποίησε αργότερα τον αριθμό τέσσερα στις τέσσερις ικανότητες του ατόμου - νοημοσύνη, λόγος, αντίληψη και φαντασίωση.
Οι Πυθαγόρειοι αξιολόγησαν τέσσερις μαθηματικές επιστήμες, της αριθμητικής, της μουσικής, της γεωμετρίας και της αστρονομίας τα θεμέλια της αληθινής γνώσης. Κατά συνέπεια η τετράς αντιπροσωπεύει τη Δικαιοσύνη στον Πυθαγόρα και τους μαθητές του. Ο αριθμός αυτός αντιπροσώπευσε την ολοκλήρωση όλων των πραγμάτων στην ακόλουθη πρόοδο 1 + 2 + 3 + 4 = 10.
Έτσι έφθασαν στο σύμβολο της Τετρακτύος. Η Τετρακτύς έγινε έπειτα το πρότυπο για τον Κόσμο και την ανθρώπινη ψυχή.
Είναι το στερεό. Το πρώτο θήλυ τετράγωνο. Η δικαιοσύνη, το ακλόνητο και το τετράγωνο. Ο αριθμός του τετραγώνου, των στοιχείων, των εποχών, των ηλικιών του ατόμου, των σεληνιακών φάσεων, των αρετών.
Πεντάς: Ο αριθμός πέντε. Είναι ένας συνδυασμός περιττού και άρτιου και επίσης από τους αριθμούς δύο και τρία στην πρόσθεσή τους. Η πεντάς επίσης αντιπροσωπεύει το γάμο, την ένωση της αρσενικής και θηλυκής συμφιλίωσης και την αρμονία. Η Πεντάς ήταν αφιερωμένη στην Αφροδίτη.
Οι Πυθαγόρειοι έλεγαν πως η πεντάς περιέχει τα φυσικά φαινόμενα του σύμπαντος. Συχνά αυτό ήταν διατυπωμένο όπως το σύμπαν σπάρθηκε από τη μονάδα, απέκτησε κίνηση μέσω της δυάδας, μετά απέκτησε ζωή μέσω της πεντάδας και περικυκλώθηκε από τη δεκάδα
Είναι ο άρρεν αριθμός του γάμου, που ενώνει τον πρώτο θήλυ αριθμό και τον πρώτο άρρεν αριθμό δια της προσθέσεως. Ο αριθμός των δαχτύλων στα άνω και κάτω άκρα. Ο αριθμός των κανονικών στερεών ή πολυέδρων. Ακατάλυτος: Όλα τα πολλαπλάσιά του τελειώνουν σε 5.
Εξάς: Είναι ο αριθμός έξι. Στους Πυθαγορείους είναι ο πρώτος τέλειος αριθμός. Προσθέτοντας τους αριθμούς 1, 2 και 3 προκύπτει το 6. Έτσι δημιουργείται η εξάδα. Ο αριθμός αντιπροσωπεύει τις καταστάσεις της υγείας και της ισορροπίας. Αντιπροσώπευσε επίσης την πληρότητα, την ειρήνη και τη θυσία. Ο αριθμός έξι συνδέθηκε επίσης με τον Ερμαφρόδιτο.
Είναι ο πρώτος θήλυ αριθμός γάμου, που ενώνει το 2 και το 3 μέσω του πολλαπλασιασμού. Ο πρώτος τέλειος αριθμός. Είναι ίσος με το ποσό των μερών των υποπολλαπλασίων του, δηλαδή οι διαιρέτες ή τα παραγόμενα, εκτός του εαυτού του, δίνουν 6. Κατά συνέπεια, 1+2+3=6 και 1*2*3=6. Το εμβαδόν του ασύμμετρου ορθογωνίου τριγώνου, 3-4-5.
Ο αριθμός έξι και πιο συγκεκριμένα η εξάδα, σύμφωνα με τον Ανατόλιο, είναι "τέλειος", διότι μπορεί να μετρηθεί από τα μέρη του (1+2+3=6 και 1Χ2Χ3=6). Παράγεται από τη δύναμη και τον πολλαπλασιασμό του πρώτου άρτιου και του πρώτου περιττού, του αρσενικού και του θηλυκού, και για αυτό καλείται "αρσενόθηλυς". Ονομάζεται και "γάμος" διότι δεν γίνεται δια της προσθέσεως, όπως ο αριθμός 5 (=2+3), αλλά δια του πολλαπλασιασμού (2Χ3=6). Από την "τελειότητα" της εξάδας προκύπτει και ο πρώτος αρμονικός μέσος όρος (αυτός είναι και ο λόγος που η νοητή γραμμή των αρμονικών σχέσεων των συχνοτήτων ξεκινά από τον αριθμό 6), του οποίου η σχέση με το 8 είναι "επίτριτη" (8:6=4:3) κ.ο.κ. Οι Πυθαγόρειοι αποκαλούσαν την εξάδα "ολομέλεια" και "ειρήνη" και "κόσμο", καθώς συνίσταται αρμονικά από τα αντίθετα. αλλά και η συναρίθμηση της λέξης Κόσμος είναι 600 (Κ20+Ο70+Σ200+Μ40+Ο70+Σ200 και όλο μαζί ΚΟΣΜΟΣ=600, που σημαίνει 6). Βλέπε Περί θεολογουμένης Αριθμητικής, σελ. 87-99. Η Αφροδίτη λοιπόν, η θεά του έρωτα και της φιλίας, ενώνει τα αντίθετα όπως και ο αριθμός 6, ενώ ακόμη αναπαριστά την αρχή της ολότητας και της τελειότητας.
Επτάς: Είναι ο αριθμός επτά. Αυτός ο αριθμός δεν μπορεί να παραχθεί από οποιαδήποτε άλλον που αποτελεί τη δεκάδα. Οι έννοιες που αντιπροσωπεύονται από την επτάδα είναι χαρά, αγάπη και ευκαιρία. Ο αριθμός αντιπροσώπευσε επίσης την παρθενία και θεωρήθηκε αφιερωμένος στην παρθένα θεά Αθηνά. Επίσης, δεδομένου ότι το επτά δεν μπορεί να διαιρεθεί, εκτός από τον εαυτό του, αντιπροσώπευσε μιαν ακρόπολη. Επίσης, ένας κύκλος δεν μπορεί να διαιρεθεί σε επτά μέρη.
Ο Ανατόλιος χαρακτηρίζει τον αριθμό 7 "αμήτωρα", ως μη προκύπτοντα από διπλασιασμό ή πολλαπλασιασμό άλλου αριθμού, και "παρθένο", διότι παράγεται μονάχα από τη μονάδα. Επτά είναι ο αριθμός της πρώτης μουσικής συμφωνίας, της δια τέσσερα (4+3), επτά είναι το άθροισμα των κάθετων πλευρών του πρωτότυπου ορθογώνιου τριγώνου κ.ο.κ. Ο Νικόμαχος τον χαρακτηρίζει "αγέλη", επειδή έχει συναχθεί σε αυτοτελή ενότητα και παραμένει αδιάσπαστος. Επτά είναι και οι αστερισμοί και σι αρχάγγελοι και οι ημέρες της εβδομάδας. Και ενώ κατά την εξάδα εκδηλώνεται η ψυχή και το σώμα (η έξις της ψυχής και του σώματος), η προσπάθεια της τελείωσης και η διανόηση εκδηλώνονται κατά την επτάδα (την εβδομάδα). Ο Νικόμαχος παραθέτει επίσης παρόμοια σχόλια με αυτά του Αλέξανδρου του Αφροδισιέα.
Ο γνωστός μύθος της γέννησης του Ηρακλή που μας παρουσιάζει ο Όμηρος στην Ιλιάδα του (Τ, στ. 95-133) μας λέει ότι η Ήρα, για να εκδικηθεί την απιστία του συζύγου της, παρέτεινε την ολοκλήρωση του κύκλου της κύησης της Αλκμήνης, με αποτέλεσμα να προηγηθεί της γέννησης του Ηρακλή ο "εφταμηνίτης" Ευρυσθέας, ο γιος της Νικίππης, της γυναίκας του Σθένελου, ο οποίος και τελικά σύμφωνα με τον όρκο του Δία ήταν αυτός που θα εξουσίαζε όλους τους γείτονές του.
Οκτάς: Η οκτάς ή ο αριθμός οκτώ ήταν σημαντικό στους Πυθαγορείους επειδή ήταν ο πρώτος κύβος (2*2*2). Σύνδεσαν οκτώ με την ασφάλεια, την σταθερότητα και όλα όσα ήταν ισορροπημένα στο σύμπαν. Οι Πυθαγόρειοι κάλεσαν συχνά την οκτάδα, "Εμπεριέχουσα των Αρμονιών", επειδή είναι η πηγή μουσικής αναλογίας. Είναι από τους πλέον Ιερούς στο Σουφισμό.
Κάθε μήνα, την όγδοη μέρα, γινόταν θυσίες στους Θεούς, γιατί υπήρχε μια ευρύτατα διαδεδομένη άποψη που έλεγε ότι ένα παιδί που γεννιέται κατόπιν επτάμηνης κυοφορίας μπορεί να ζήσει, ενώ όταν γεννηθεί στους οκτώ μήνες πεθαίνει.
Εννεάς: Ο αριθμός εννέα, ο οποίος κλήθηκε επίσης ορίζοντας, επειδή χαρακτήρισε τη γραμμή μεταξύ της δεκάδας και των αριθμών που κατέληξαν σε αυτήν. Οι Πυθαγόρειοι έβλεπαν το εννέα σαν αριθμό ολοκλήρωσης. Αυτό οφειλόταν στους εννέα μήνες της εγκυμοσύνης και στην ύπαρξη των εννέα Μουσών.
Είναι τον πρώτο άρρεν τετράγωνο (3*3). Ακατάλυτο που όμως πολλαπλασιασμένο συχνά, αναπαράγεται.
Δεκάς: Η δεκάς ή ο αριθμός δέκα ήταν ο πιο ιερός όλων των αριθμών στους Πυθαγορείους. Αυτός ο αριθμός περιέχει όλα τα πράγματα σε μια απλή δομή και επιρροή. Είναι το σύνολο των θείων επιρροών που κράτησαν το σύμπαν μαζί και ήταν όλοι οι προφανείς νόμοι της φύσης. Η δεκάς επίσης είναι ο κόσμος, ο ουρανός, ο Θεός, και η μοίρα.
Η Δεκάς περιέχει όλους τους αριθμούς. Μετά το 10 οι αριθμοί επαναλαμβάνουν τον εαυτό τους. Είναι το άθροισμα των αρχέτυπων αριθμών, δηλαδή 1+2+3+4=10
Περαιτέρω, Ιεροί είναι οι αριθμοί:
Ο αριθμός 27. Ο πρώτος άρρεν κύβος (3*3*3).
Ο αριθμός 28. Αστρολογικά σημαντικός αριθμός, όπως ο σεληνιακός κύκλος. Είναι ο δεύτερος τέλειος αριθμός, δηλαδή 1+2+4+7+14=28, καθώς επίσης και το άθροισμα των επτά αριθμών, δηλαδή 1+2+3+4+5+6+7=28.
Ο αριθμός 35. Το άθροισμα των κύβων του πρώτου θήλυ και πρώτου άρρενος, δηλαδή, 8+27=35
Ο αριθμός 36. Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού των πρώτων τετραγώνων των αριθμών, δηλαδή 4 x 9=36. Ακόμα, το άθροισμα των τριών πρώτων κύβων, δηλαδή 1+8+27=36. Επίσης το άθροισμα των οκτώ πρώτων αριθμών, δηλαδή 1+2+3+4+5+6+7+8=36.
Αντιστοιχίες από τις Πυθαγόρειες σκέψεις εμφανίζονται στις εργασίες του Νικομάχου Γερασηνού, ιδιαίτερα στο "αριθμητική εισαγωγή", η οποία αποτέλεσε τη βάση του κειμένου του τέταρτου αιώνα μΧ. στο έργο του Ιάμβλιχου, "Τα Θεολογούμενα της Αριθμητικής". Αυτές οι αντιστοιχίες και αποδόσεις είναι οι ακόλουθες:
Μονάς: Ο Ζευς, ο Προμηθεύς και το Χάος
Δυάς: Η Μούσα Ερατώ, η Ίσις, η Ρέα, η δικαιοσύνη και η φύση
Τριάς: Η Εκάτη, η σωφροσύνη και οι τρεις φάσεις της Σελήνης.
Τετράς: Ο Ηρακλής, τα 4 στοιχεία, το δίκαιο και οι 4 εποχές.
Πεντάς: Η Νέμεσις, η Θεία Πρόνοια, η Αφροδίτη, η Αθηνά, η δικαιοσύνη, ο αιθήρ ή η πεμπτουσία, το πέμπτο στοιχείο (Πνεύμα).
Εξάς: Το Σύμπαν ή ο Κόσμος, η Μούσα Θάλεια και η αρμονία.
Επτάς: Η Αθηνά, η παρθενία και η τύχη.
Οκτάς: Η ευμετάβλητη φύση και η Μούσα Ευτέρπη.
Εννεάς: Ο Ωκεανός, ο Προμηθεύς, ο Ήφαιστος, η Ήρα και ο Υπερείων.
Οι Πυθαγόρειοι αναπαριστούσαν τους αριθμούς με υποδείγματα από στιγμές (τελείες), σαν αποτέλεσμα από ταξινομημένα χαλίκια σε τύπους. Για παράδειγμα, το 9 έχει 3 σειρές με 3 χαλίκια σε καθεμία, διαμορφώνοντας έτσι ένα τετράγωνο. Όμοια, το 10 έχει 4 σειρές που περιέχουν η κάθε μία, 1, 2, 3 και 4 χαλίκια ανά σειρά, διαμορφώνοντας ένα τρίγωνο.
Έτσι παρήγαγαν τις σχέσεις μεταξύ των αριθμών. Παραδείγματος χάριν, ένας τετράγωνος αριθμός μπορεί να υποδιαιρεθεί με μια διαγώνια γραμμή σε δύο τρίγωνα αριθμούς. Μπορούμε να πούμε πως ένας τετράγωνος αριθμός είναι πάντα το άθροισμα δύο τριγώνων αριθμών.
Έτσι, ο τετράγωνος αριθμός 25 είναι το άθροισμα του τρίγωνου αριθμού 10 και του τρίγωνου αριθμού 15.
Η Μυστική Τετρακτύς είναι ένας ιδιαίτερος τρίγωνος αριθμός, όμοιος με αυτόν του δέκα. Το όνομά της που σημαίνει σύνολο από τέσσερα πράγματα, μια λέξη που απέδωσε ο μαθηματικός Θέων. Οι Πυθαγόρειοι αναγνώριζαν δέκα τέτοια σύνολα.
Το σύνολο των δέκα πραγμάτων ή οι δέκα Τετρακτύες
Ο Ιάμβλιχος στο έργο του Περί του Πυθαγορικού βίου, ονομάζει την Τετρακτύ, Μαντείο Δελφών. Αναφέρει: Κεφάλαιο 18, τμήμα 82 γραμμή 12 Το σύνολο τώρα όσων αποκαλούνται "ακούσματα" διαιρείται σε τρία είδη: στο πρώτο ανήκουν αυτά που υποδηλώνουν τι υπάρχει, στο δεύτερο ποιο είναι το πιο καλό και στο τρίτο τι πρέπει να πράττεται και τι όχι. Τα πρώτα λοιπόν, που αφορούν το τι υπάρχει, ομοιάζουν με τα εξής: Τι είναι τα Νησιά των Μακάρων; Ο ήλιος και η σελήνη. Τι είναι το μαντείο των Δελφών; Η τετρακτύς, πράγμα που σημαίνει η αρμονία, όπου βρίσκονται και οι Σειρήνες. Τα δεύτερα, μοιάζουν με τα εξής: Ποιο είναι το δικαιότερο; Το να θυσιάζεις. Ποιο είναι το πιο σοφό; Ο αριθμός. Και το δεύτερο, μετά τον αριθμό, είναι αυτό που θέτει ονόματα στα πράγματα. Ποιο είναι το σοφότερο για εμάς; Η ιατρική. Ποιο είναι το ωραιότερο; Η αρμονία. Ποιο το ισχυρότερο; Η γνώμη. Ποιο το καλύτερο; Η ευδαιμονία. Ποιο θεωρείται ως το πιο αληθινό; Ότι οι άνθρωποι είναι πονηροί. Για το λόγο αυτό λένε ότι ο Πυθαγόρας παίνεσε τον ποιητή, τον Ιπποδάμαντα τον Σαλαμίνιο, ο οποίος έγραψε: Ω θεοί, από πού κατάγεστε; Από πού γίνατε αυτοί που είστε; Ω άνθρωποι, από πού κατάγεστε; Από πού γίνατε τόσο κακοί; Η Τετρακτύς θεωρείται από τους Πυθαγορείους ως η ρίζα, η πηγή κάθε δημιουργίας. Αποτελεί τον θεϊκότερο και ιερότερο όρκο τους και παριστάνεται με στιγμές, των οποίων η διάταξη κατασκευάζει τρίγωνον εντελές, δηλαδή ισοσκελές, του οποίου η κάθε πλευρά έχει τέσσερις στιγμές [Λουκιανού, Βίων πράσις, 4, 543.] Οι τέσσερις πρώτοι αριθμοί είναι αυτοί με τους οποίους ο κόσμος διοικείται με αρμονία, και η αρμονία αυτή είναι ένα σύστημα τριών συγχορδιών, της τετάρτης, της πέμπτης, της ογδόης και της διπλής ογδόης, των οποίων οι αναλογίες βρίσκονται στους τέσσερις πρώτους αριθμούς. Η αρμονία αυτή, κατά τον Ιάμβλιχο, κυβερνά τη μουσική των ουράνιων σφαιρών, πάνω στις οποίες, σύμφωνα με τον Πλάτωνα, στέκεται μια Σειρήνα που τραγουδά σε μια συγκεκριμένη τονικότητα. οι σειρήνες είναι οκτώ (όσοι και οι φθόγγοι μιας οκτάβας και το τραγούδι τους δημιουργεί μια μοναδική αρμονία (Πλάτωνος Πολιτεία 617Β). Καθίσταται λοιπόν σαφές για ποιο λόγο ο Πυθαγόρας θεωρούσε την τετρακτύν ως το μαντείο των Δελφών: επειδή είναι η ουσιαστικότερη αλήθεια του σύμπαντος και το μαντείο έχει σκοπό να την αποκαλύπτει. Στους τέσσερεις πρώτους αριθμούς των Πυθαγορείων αναφέρεται και ο Αριστοτέλης στο Περί Ψυχής, 404β. Ο Σταγειρίτης, επιχειρώντας να περιγράψει την παλαιότερη άποψη περί της ψυχής, μας παραπέμπει στο κατά πάσαν πιθανότητα Πυθαγορικό σύγγραμμα Περί Φιλοσοφίας. Σύμφωνα με το κείμενο λοιπόν αυτό, το ίδιο το έμψυχο ον απορρέει από την ιδέα του Ενός ή αλλιώς, ο Νους είναι το Ένα. Η Επιστήμη, η γνώση δηλαδή, είναι το Δύο, επειδή μόνο κατά τον τρόπο αυτό πορεύεται προς τη μονάδα. Ο αριθμός της επιφάνειας είναι η γνώμη και ο αριθμός του όγκου η αίσθηση, καθώς, όπως έλεγαν, οι αριθμοί είναι οι μορφές καθεαυτές και οι αρχές και συγκροτούνται από στοιχεία. Στο ίδιο ζήτημα αναφέρεται και ο Θέων ο Σμυρναίος, ο οποίος, αναφερόμενος στη Δεκάδα (ΙΙ, 37-49), αναγνωρίζει έντεκα διαφορετικές τετρακτύες ή τετράδες, αναλογικές όμως μεταξύ τους: τη θεμελιώδη (1+2+3+4) και οι πρωταρχικές συνηχήσεις της κλίμακας - όπως στον Σέξτο, της ψυχής του κόσμου [οι γεωμετρικές πρόοδοι με λόγο 2 (1, 2, 4, 8) και 3 (1, 3, 9, 27), τη φύση των μεγεθών (1=σημείο, 2=ευθεία γραμμή, 3=καμπύλη γραμμή, 4=επίπεδη επιφάνεια, 9=κυρτή επιφάνεια, 8=στερεό με κυρτή επιφάνεια, 27=στερεό με επίπεδη επιφάνεια), τα στοιχεία της φύσης (1φωτιά, 2αέρας, 3νερό, 4=γη), τα γεωμετρικά σχημάτα (1=πυραμίδα, 2=οκτάεδρο, 3=εικοσάεδρο, 4=κύβος), τα φυομένα (1=το σπέρμα που αντιστοιχεί στη μονάδα και το σημείο, 2=η αύξηση κατά μήκος στη δυάδα και στη γραμμή, 3=η αύξηση κατά πλάτος στην τριάδα, 4=η αύξηση κατά όγκο στην τετράδα και στο στερεό), τη γενετική ανάπτυξη της κοινωνίας (1=άνθρωπος, 2=οικογένεια, 3=κώμη, 4=πόλις), τις γνωστικές ιδιοτήτες (1=νους, 2=επιστήμη, 3=δόξα, 4=αίσθηση), τις διαστάσεις του έμψυχου όντος (1=λογιστικό, 2=θυμικό, 3=επιθυμητικό, 4=το σώμα ως τόπος διαμονής της ψυχής), τη διαδοχή του χρόνου (1=άνοιξη, 2=καλοκαίρι, 3=φθινόπωρο, 4=χειμώνας) και τέλος, τη προόδο των ηλικιών της ζωής (1=παιδική ηλικία, 2=εφηβεία, 3=ώριμη ηλικία, 4=γήρας). Σύμφωνα με την Πυθαγόρεια φιλοσοφία η φύση μπορεί να γίνει κατανοητή μονάχα μέσω της αριθμητικής θεωρίας των αναλογιών σε σχέση με τη γεωμετρική μελέτη των στερεών. Οι Πυθαγόρειοι, λοιπόν, θεωρούν ότι όλα τα στερεά μπορούν να ελεγχθούν βάσει πέντε αρχικών κανονικών πολύεδρων σχημάτων. Ο Πλάτων, έτσι, στον Τίμαιο (54δ- 55δ), παρουσιάζει τα τέσσερα από τα πέντε κανονικά πολύεδρα σχήματα, (το κανονικό τετράεδρο, το κανονικό οκτάεδρο, το κανονικό εικοσάεδρο, και το εξάεδρο ή κύβο), των οποίων η συστατική μονάδα είναι το τρίγωνο (ορθογώνιο και ισόπλευρο). Γίνεται ωστόσο λόγος και για τη σύσταση του πέμπτου πολύεδρου σχήματος, με την οποία ο Θεός προέβαλε το σύμπαν, διακοσμώντας και περιχαράσσοντάς το με αυτήν. Ο Σωκράτης στον Φαίδωνα, επιχειρώντας να παρουσιάσει τη γη, θα το "περιγράψει", ορίζοντάς την ως δωδεκάσπυτον πολύχρωμη σφαίρα (110β).
Το δωδεκάεδρο, ωστόσο, διακρίνεται από τα τέσσερα άλλα κανονικά στερεά, καθώς δεν σχηματίζεται από τρίγωνα αλλά από πεντάγωνα, των οποίων οι έδρες διαιρούνται σε δύο τρίγωνα από τη διαγώνιο του τετραγώνου, και των οποίων ο λόγος που προκύπτει από τη σχέση της πλευράς με τη διαγώνιο ισούται με τη Χρυσή Τομή (sectio aurea) ή την proportion divina(Θεία Αναλογία). Η συνένωση μάλιστα των κορυφών του πενταγώνου δημιουργεί πέντε ισοσκελή τρίγωνα σε σχήμα πεντάκτινου αστεριού, των οποίων οι πλευρές, καθώς τέμνονται, σχηματίζουν ένα μικρό αντεστραμμένο πεντάγωνο, το Πεντάγραμμα ή τη Πεντάλφα. Ενώ όμως σύμφωνα με την πλατωνική θεωρία της δημιουργίας του σύμπαντος, η οποία αποδέχεται το συνδυασμό των τεσσάρων ριζωμάτων (της φωτιάς, της γης, του νερού και του αέρα), αυτή η πέμπτη σύσταση δεν φαίνεται να παίζει κάποιο ρόλο κατά τη φάση της δημιουργίας - ξεφεύγει ή βρίσκεται πέραν της διαδικασίας της μίξεως και ορίζεται ως Θεϊκή και εμπεριέχουσα των ριζωμάτων ή των παραγόμενων από αυτά στερεών, καθώς τα περιβάλλει και τα ενσωματώνει - σύμφωνα με τον Αριστοτέλη ορίζεται ως ένα πέμπτο "ρίζωμα"- στοιχείο, ως ο αιθέρας, που είναι το λεπτότερο όλων. Είναι η αρχή της κυκλικής κίνησης των άστρων και της ανθρώπινης ψυχής.
Κανένα ολοκληρωμένο έργο που να αφορά την εσωτερική σημασία των αριθμών δεν έχει διασωθεί, Πέραν από ένα σύγγραμμα που αποδίδεται στον Ιάμβλιχο, το Περί θεολογουμένης Αριθμητικής, στο οποίο αναπτύσσονται οι ιδιότητες των 10 πρώτων αριθμών από μαθηματικής και αρμονικής πλευράς και παρέχονται πολυάριθμα προσηγορικά ονόματα για τον κάθε ένα.
Το σύγγραμμα αυτό περιέχει μέρη από την ομώνυμη χαμένη πραγματεία του Νικομάχου του Γερασηνού, από το χαμένο σύγγραμμα του Ανατόλιου (Περί της Δεκάδος και των Αριθμών), του δασκάλου του Ιάμβλιχου και από κάποια χωρία που έχουν γραφεί από κάποιον άγνωστο μελετητή, ο οποίος πιθανόν να είναι ο Ιάμβλιχος, καθώς ο ίδιος αναφέρει τόσο τον Νικόμαχο όσο και τον Ανατόλιο.
Οι διδασκαλίες του Πυθαγόρα έχουν έρθει σε μας με πολύ μικρά αποσπάσματα και όχι άμεσα μέσα από τον ίδιο τον Πυθαγόρα. Ότι ξέρουμε για τις διδασκαλίες του καθώς επίσης και των Πυθαγορείων προέρχονται από ποικίλες πηγές μετά από το θάνατο του Πυθαγόρα. Σίγουρα, γνωρίζομε πως ο Πυθαγόρας δίδαξε κατ' εξοχήν τα μαθηματικά και τους αριθμούς, γενικά. Μια πηγή για αυτό είναι, ο Αριστοτέλης που έγραψε στα Μεταφυσικά του:
«Οι πυθαγόρειοι αφοσιώθηκαν στα μαθηματικά και ήταν οι πρώτοι στην ανάπτυξη αυτής της επιστήμης. Μέσα από την μελέτη των μαθηματικών, πίστεψαν πως οι αρχές των μαθηματικών είναι οι αρχές όλων. Επειδή οι αριθμοί είναι κατά στη φύση πρώτοι, φαντάστηκαν ότι θα μπορούσαν να αναγνωρίσουν στους αριθμούς και στα παράγωγα, περισσότερο παρά το πυρ, στη γη και στο ύδωρ ...; ...;..και δεδομένου ότι φάνηκε σαφές ότι όλα τα άλλα πράγματα στη φύση διαμορφώθηκαν επάνω στους αριθμούς και ότι οι αριθμοί είναι τα τελευταία πράγματα σε ολόκληρο το φυσικό κόσμο και ολόκληρος ο κόσμος είναι μια αναλογία ή ένας αριθμός».
Ένα μεγάλο μέρος σπουδαιότητας των αριθμών στη φιλοσοφία του Πυθαγόρα, μια λέξη που Πυθαγόρας ο ίδιος ήταν ο πρώτος που χρησιμοποιεί για να περιγράψει τον εαυτό του ως Φίλο-Σοφός (εραστής της φρόνησης), προήλθε από τη σημασία των ιερών αριθμών στα Ορφικά μυστήρια και από τις μελέτες του στην Αίγυπτο και αργότερα στη Βαβυλωνία και την Περσία. Για τους Πυθαγορείους, ο αριθμός δέκα ήταν ο πιο ιερός αριθμός και τον παρουσίαζαν ταυτόχρονα με τους άλλους πρωταρχικούς αριθμούς, που είναι οι αριθμοί ένα ως εννέα που κατέληγαν στο δέκα, σε ένα ιερό σύμβολο.
Ξέρουμε ότι οι Πυθαγόρειοι είχαν ένα μυστικό σύμβολο για να αναγνωρίζουν ο ένας τον άλλον. Αυτό το σύμβολο ήταν ένα σχέδιο δέκα σημείων γνωστό ως Τετρακτύς. Το σύμβολο αποτελούταν από τέσσερα επίπεδα που διαμόρφωναν σε ένα τρίγωνο με μια βάση τεσσάρων σημείων, ακολουθούσε ένα επίπεδο τριών σημείων, μετά ένα με δύο και τελικά ένα σημείο στο ανώτερο επίπεδο του συμβόλου. Αυτό το ιερό σύμβολο στους πυθαγορείους εκφράστηκε έτσι:
Η ανάγλυφη παράσταση της Τετρακτύος μπορεί να είχε την προέλευσή της σε μια παράσταση χαλικιών που χρησιμοποιούταν στη μελέτη των μαθηματικών, καθώς επίσης και στο πρώτο γράμμα της λέξης "Δεκάς" που είναι ένα τρίγωνο, το Δ είναι ένα τρίγωνο.
Αναπτύχθηκε μια μελέτη μυστικών ιδιοτήτων των αριθμών στη δεκάδα που ονομάστηκε αριθμολογία. Αυτή η μελέτη εξέταζε τις ιδιότητες και τις μαγικές δυνάμεις των αριθμών, συσχετίζοντας τους με τα ζωντανά και άψυχα αντικείμενα, καθώς επίσης και με Θεούς και Θεές. Το σύστημα αναφέρεται στον Τίμαιο του Πλάτωνα.
Η έννοια της Τετρακτύος μόλις κατανεμηθεί σε κάθε ατομική γραμμή και σημείο έχει μια μάλλον εντυπωσιακή ομοιότητα με το Δέντρο της Ζωής που χρησιμοποιείται στην Καμπαλά. Ακολουθούν τα παραδείγματα κάθε αριθμού της δεκάδας που χρησιμοποιεί η αριθμολογία και οι έννοιες που συνδέονται με την Τετρακτύ είναι οι ακόλουθες:
Μονάς: Ήταν το Ένα και αντιπροσώπευσε πολλές μεταφυσικές κυριότητες και έννοιες. Ήταν γνωστή ως Είδος, Πηγή ορίου και μορφής. Η Ευδαιμονία, ο Δημιουργός. Η ευτυχία, η αρμονία, η τάξη και η φιλία. Εξισώθηκε με τον Απόλλωνα, το Θεό του Λόγου και με τον Υπερίωνα, την κεντρική φλόγα και ταυτόχρονα με τον Ήλιο σαν κέντρο του κόσμου και το νόηση σαν κέντρο του ανθρώπινου σώματος.
Στο έργο "Περί Ίσιδος και Οσίριδος", Ο Πλούταρχος κάνει μιαν αναφορά στην πυθαγόρεια φιλοσοφία και τη θεοποίηση των αριθμών με πρώτη τη μονάδα, τον αριθμό ένα, το ον, το άρτιο (την μονάδα τους άνδρας ονομάζειν Απόλλωνα.) Αντιπροσώπευε επίσης την ενότητα και την τελειότητα. Είναι το Σημείο, η πηγή όλων των αριθμών.
Το καλό, το επιθυμητό, το ουσιώδες, το αδιαίρετο.
Ο Πυθαγόρας έλεγε πως διαφέρει η Μονάς από το Έν. Όμοια και η Δυάς από το Δύο.
Δυάς: Ήταν το Δύο. Για τους πυθαγορείους, αυτός ο αριθμός αντιπροσώπευσε το πρώτο στάδιο προς τη διαδρομή της δημιουργίας. Η δυάδα αντιπροσώπευσε την πόλωση, την αντίθεση, την απόκλιση, την ανισότητα, και την αστάθεια. Καλείται συχνά Τόλμη, καθώς διασκορπίζει την τελειότητα και την ενότητα της Μονάδας.
Είναι η γραμμή, η διαφορά, ο αριθμός της υπερβολής και της έλλειψης. Ο πρώτος θήλυ αριθμός. Η Δυαδικότητα.
Τριάς: Ο επόμενος αριθμός είναι ο αριθμός τρία. Οι Πυθαγόρειοι τον έβλεπαν ως πρώτο αληθινό αριθμό. Είναι ένα σύνολο που αντιπροσωπεύει την αρχή, τη μέση και το τέλος. Ο αριθμός αντιπροσωπεύει τον αρχή όλων που είναι ολόκληρα και τέλεια, τις τρεις διαστάσεις, και την τριμερή ψυχή.
Ο αριθμός υπονοεί επίσης από το Παρελθόν, το Παρόν και το Μέλλον. Ενσωματώνει τη φρόνηση και την πρόβλεψη, επειδή οι άνθρωποι που εξετάζουν και τα τρία μέρη του χρόνου θα επιλέξουν ένα σωστό σχέδιο δράσης. Η γνώση αντιπροσωπεύθηκε επίσης από την τριάδα, όπως ήταν οι δυνάμεις της προφητείας και της μοίρας. Για να συσχετίσουν την τριάδα με τις προφητείες, οι χρησμοί στα μαντεία στην αρχαιότητα γινόταν σε κοιλώματα που υποστηριζόταν σε ένα τρίποδα.
Δυνάμει της τριάδας, η ενότητα και η ποικιλομορφία αυτού που είναι αποτελούμενου, επιστρέφει στην αρμονία. Ο πρώτος περίεργος, άρρεν αριθμός.
Για τον αριθμό λοιπόν τρία, ο Ιάμβλιχος λέει, ότι είναι εξαιρετικού κάλλους και ευσχημοσύνης σε σύγκριση με όλους τους άλλους, επειδή κατέστησε τις δυνάμει ιδιότητες της μονάδας σε ενεργεία, εκφράζοντας την αναλογία, τη συνένωση και την αποτέλεση. Είναι δηλαδή ο πρώτος ενεργεία, επειδή υπερτερεί του ίσου και έχει κάτι περισσότερο από το ίσο στο ένα μέρος του (η μονάδα =1, η δυάδα =1+1, η τριάδα=1+2), ενώ το εξαιρετικό σε αυτόν είναι ότι αποτελεί τη συνέχεια των δύο πρώτων αιτιών και βεβαίως τη σύνθεση αμφοτέρων. Ο Ανατόλιος τον αποκαλεί "πλήρη" επειδή δείχνει τα πάντα και την αρχή και το μέσον και το τέλος, και για τον λόγο αυτό, όταν επαινούν τα υπέρμετρα τον χρησιμοποιούν ως πρόθεμα (τρισευτυχής ή τρισευδαίμονας), ενώ ο Νικόμαχος τον θεωρεί ως την έναρξη των αριθμών και το θεμέλιο της γεωμετρίας. Ο Νικόμαχος επίσης είναι αυτός που κάνει αναφορά στον αριθμό των σπονδών που οι άνθρωποι πρέπει κάνουν, αν επιθυμούν να εκπληρωθούν οι προσευχές τους.
Τετράς: Είναι ο αριθμός τέσσερα. Το τέσσερα αντιπροσώπευε την ολοκλήρωση. Για τους Πυθαγορείους, όλα και φυσικά και αριθμητικά ολοκληρώθηκαν στην πρόοδο του ενός μέχρι το τέσσερα. Το εξέφρασαν με τις τέσσερις εποχές, τα τέσσερα στοιχεία (γη, αέρας, πυρ και ύδωρ), τα τέσσερα ζωτικής σημασίας μουσικά διαστήματα και τα τέσσερα είδη πλανητικής κίνησης. Το τέσσερα απεικόνιζε την ευθύτητα και τη σταθερότητα.
Ο Πλάτων χρησιμοποίησε αργότερα τον αριθμό τέσσερα στις τέσσερις ικανότητες του ατόμου - νοημοσύνη, λόγος, αντίληψη και φαντασίωση.
Οι Πυθαγόρειοι αξιολόγησαν τέσσερις μαθηματικές επιστήμες, της αριθμητικής, της μουσικής, της γεωμετρίας και της αστρονομίας τα θεμέλια της αληθινής γνώσης. Κατά συνέπεια η τετράς αντιπροσωπεύει τη Δικαιοσύνη στον Πυθαγόρα και τους μαθητές του. Ο αριθμός αυτός αντιπροσώπευσε την ολοκλήρωση όλων των πραγμάτων στην ακόλουθη πρόοδο 1 + 2 + 3 + 4 = 10.
Έτσι έφθασαν στο σύμβολο της Τετρακτύος. Η Τετρακτύς έγινε έπειτα το πρότυπο για τον Κόσμο και την ανθρώπινη ψυχή.
Είναι το στερεό. Το πρώτο θήλυ τετράγωνο. Η δικαιοσύνη, το ακλόνητο και το τετράγωνο. Ο αριθμός του τετραγώνου, των στοιχείων, των εποχών, των ηλικιών του ατόμου, των σεληνιακών φάσεων, των αρετών.
Πεντάς: Ο αριθμός πέντε. Είναι ένας συνδυασμός περιττού και άρτιου και επίσης από τους αριθμούς δύο και τρία στην πρόσθεσή τους. Η πεντάς επίσης αντιπροσωπεύει το γάμο, την ένωση της αρσενικής και θηλυκής συμφιλίωσης και την αρμονία. Η Πεντάς ήταν αφιερωμένη στην Αφροδίτη.
Οι Πυθαγόρειοι έλεγαν πως η πεντάς περιέχει τα φυσικά φαινόμενα του σύμπαντος. Συχνά αυτό ήταν διατυπωμένο όπως το σύμπαν σπάρθηκε από τη μονάδα, απέκτησε κίνηση μέσω της δυάδας, μετά απέκτησε ζωή μέσω της πεντάδας και περικυκλώθηκε από τη δεκάδα
Είναι ο άρρεν αριθμός του γάμου, που ενώνει τον πρώτο θήλυ αριθμό και τον πρώτο άρρεν αριθμό δια της προσθέσεως. Ο αριθμός των δαχτύλων στα άνω και κάτω άκρα. Ο αριθμός των κανονικών στερεών ή πολυέδρων. Ακατάλυτος: Όλα τα πολλαπλάσιά του τελειώνουν σε 5.
Εξάς: Είναι ο αριθμός έξι. Στους Πυθαγορείους είναι ο πρώτος τέλειος αριθμός. Προσθέτοντας τους αριθμούς 1, 2 και 3 προκύπτει το 6. Έτσι δημιουργείται η εξάδα. Ο αριθμός αντιπροσωπεύει τις καταστάσεις της υγείας και της ισορροπίας. Αντιπροσώπευσε επίσης την πληρότητα, την ειρήνη και τη θυσία. Ο αριθμός έξι συνδέθηκε επίσης με τον Ερμαφρόδιτο.
Είναι ο πρώτος θήλυ αριθμός γάμου, που ενώνει το 2 και το 3 μέσω του πολλαπλασιασμού. Ο πρώτος τέλειος αριθμός. Είναι ίσος με το ποσό των μερών των υποπολλαπλασίων του, δηλαδή οι διαιρέτες ή τα παραγόμενα, εκτός του εαυτού του, δίνουν 6. Κατά συνέπεια, 1+2+3=6 και 1*2*3=6. Το εμβαδόν του ασύμμετρου ορθογωνίου τριγώνου, 3-4-5.
Ο αριθμός έξι και πιο συγκεκριμένα η εξάδα, σύμφωνα με τον Ανατόλιο, είναι "τέλειος", διότι μπορεί να μετρηθεί από τα μέρη του (1+2+3=6 και 1Χ2Χ3=6). Παράγεται από τη δύναμη και τον πολλαπλασιασμό του πρώτου άρτιου και του πρώτου περιττού, του αρσενικού και του θηλυκού, και για αυτό καλείται "αρσενόθηλυς". Ονομάζεται και "γάμος" διότι δεν γίνεται δια της προσθέσεως, όπως ο αριθμός 5 (=2+3), αλλά δια του πολλαπλασιασμού (2Χ3=6). Από την "τελειότητα" της εξάδας προκύπτει και ο πρώτος αρμονικός μέσος όρος (αυτός είναι και ο λόγος που η νοητή γραμμή των αρμονικών σχέσεων των συχνοτήτων ξεκινά από τον αριθμό 6), του οποίου η σχέση με το 8 είναι "επίτριτη" (8:6=4:3) κ.ο.κ. Οι Πυθαγόρειοι αποκαλούσαν την εξάδα "ολομέλεια" και "ειρήνη" και "κόσμο", καθώς συνίσταται αρμονικά από τα αντίθετα. αλλά και η συναρίθμηση της λέξης Κόσμος είναι 600 (Κ20+Ο70+Σ200+Μ40+Ο70+Σ200 και όλο μαζί ΚΟΣΜΟΣ=600, που σημαίνει 6). Βλέπε Περί θεολογουμένης Αριθμητικής, σελ. 87-99. Η Αφροδίτη λοιπόν, η θεά του έρωτα και της φιλίας, ενώνει τα αντίθετα όπως και ο αριθμός 6, ενώ ακόμη αναπαριστά την αρχή της ολότητας και της τελειότητας.
Επτάς: Είναι ο αριθμός επτά. Αυτός ο αριθμός δεν μπορεί να παραχθεί από οποιαδήποτε άλλον που αποτελεί τη δεκάδα. Οι έννοιες που αντιπροσωπεύονται από την επτάδα είναι χαρά, αγάπη και ευκαιρία. Ο αριθμός αντιπροσώπευσε επίσης την παρθενία και θεωρήθηκε αφιερωμένος στην παρθένα θεά Αθηνά. Επίσης, δεδομένου ότι το επτά δεν μπορεί να διαιρεθεί, εκτός από τον εαυτό του, αντιπροσώπευσε μιαν ακρόπολη. Επίσης, ένας κύκλος δεν μπορεί να διαιρεθεί σε επτά μέρη.
Ο Ανατόλιος χαρακτηρίζει τον αριθμό 7 "αμήτωρα", ως μη προκύπτοντα από διπλασιασμό ή πολλαπλασιασμό άλλου αριθμού, και "παρθένο", διότι παράγεται μονάχα από τη μονάδα. Επτά είναι ο αριθμός της πρώτης μουσικής συμφωνίας, της δια τέσσερα (4+3), επτά είναι το άθροισμα των κάθετων πλευρών του πρωτότυπου ορθογώνιου τριγώνου κ.ο.κ. Ο Νικόμαχος τον χαρακτηρίζει "αγέλη", επειδή έχει συναχθεί σε αυτοτελή ενότητα και παραμένει αδιάσπαστος. Επτά είναι και οι αστερισμοί και σι αρχάγγελοι και οι ημέρες της εβδομάδας. Και ενώ κατά την εξάδα εκδηλώνεται η ψυχή και το σώμα (η έξις της ψυχής και του σώματος), η προσπάθεια της τελείωσης και η διανόηση εκδηλώνονται κατά την επτάδα (την εβδομάδα). Ο Νικόμαχος παραθέτει επίσης παρόμοια σχόλια με αυτά του Αλέξανδρου του Αφροδισιέα.
Ο γνωστός μύθος της γέννησης του Ηρακλή που μας παρουσιάζει ο Όμηρος στην Ιλιάδα του (Τ, στ. 95-133) μας λέει ότι η Ήρα, για να εκδικηθεί την απιστία του συζύγου της, παρέτεινε την ολοκλήρωση του κύκλου της κύησης της Αλκμήνης, με αποτέλεσμα να προηγηθεί της γέννησης του Ηρακλή ο "εφταμηνίτης" Ευρυσθέας, ο γιος της Νικίππης, της γυναίκας του Σθένελου, ο οποίος και τελικά σύμφωνα με τον όρκο του Δία ήταν αυτός που θα εξουσίαζε όλους τους γείτονές του.
Οκτάς: Η οκτάς ή ο αριθμός οκτώ ήταν σημαντικό στους Πυθαγορείους επειδή ήταν ο πρώτος κύβος (2*2*2). Σύνδεσαν οκτώ με την ασφάλεια, την σταθερότητα και όλα όσα ήταν ισορροπημένα στο σύμπαν. Οι Πυθαγόρειοι κάλεσαν συχνά την οκτάδα, "Εμπεριέχουσα των Αρμονιών", επειδή είναι η πηγή μουσικής αναλογίας. Είναι από τους πλέον Ιερούς στο Σουφισμό.
Κάθε μήνα, την όγδοη μέρα, γινόταν θυσίες στους Θεούς, γιατί υπήρχε μια ευρύτατα διαδεδομένη άποψη που έλεγε ότι ένα παιδί που γεννιέται κατόπιν επτάμηνης κυοφορίας μπορεί να ζήσει, ενώ όταν γεννηθεί στους οκτώ μήνες πεθαίνει.
Εννεάς: Ο αριθμός εννέα, ο οποίος κλήθηκε επίσης ορίζοντας, επειδή χαρακτήρισε τη γραμμή μεταξύ της δεκάδας και των αριθμών που κατέληξαν σε αυτήν. Οι Πυθαγόρειοι έβλεπαν το εννέα σαν αριθμό ολοκλήρωσης. Αυτό οφειλόταν στους εννέα μήνες της εγκυμοσύνης και στην ύπαρξη των εννέα Μουσών.
Είναι τον πρώτο άρρεν τετράγωνο (3*3). Ακατάλυτο που όμως πολλαπλασιασμένο συχνά, αναπαράγεται.
Δεκάς: Η δεκάς ή ο αριθμός δέκα ήταν ο πιο ιερός όλων των αριθμών στους Πυθαγορείους. Αυτός ο αριθμός περιέχει όλα τα πράγματα σε μια απλή δομή και επιρροή. Είναι το σύνολο των θείων επιρροών που κράτησαν το σύμπαν μαζί και ήταν όλοι οι προφανείς νόμοι της φύσης. Η δεκάς επίσης είναι ο κόσμος, ο ουρανός, ο Θεός, και η μοίρα.
Η Δεκάς περιέχει όλους τους αριθμούς. Μετά το 10 οι αριθμοί επαναλαμβάνουν τον εαυτό τους. Είναι το άθροισμα των αρχέτυπων αριθμών, δηλαδή 1+2+3+4=10
Περαιτέρω, Ιεροί είναι οι αριθμοί:
Ο αριθμός 27. Ο πρώτος άρρεν κύβος (3*3*3).
Ο αριθμός 28. Αστρολογικά σημαντικός αριθμός, όπως ο σεληνιακός κύκλος. Είναι ο δεύτερος τέλειος αριθμός, δηλαδή 1+2+4+7+14=28, καθώς επίσης και το άθροισμα των επτά αριθμών, δηλαδή 1+2+3+4+5+6+7=28.
Ο αριθμός 35. Το άθροισμα των κύβων του πρώτου θήλυ και πρώτου άρρενος, δηλαδή, 8+27=35
Ο αριθμός 36. Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού των πρώτων τετραγώνων των αριθμών, δηλαδή 4 x 9=36. Ακόμα, το άθροισμα των τριών πρώτων κύβων, δηλαδή 1+8+27=36. Επίσης το άθροισμα των οκτώ πρώτων αριθμών, δηλαδή 1+2+3+4+5+6+7+8=36.
Αντιστοιχίες από τις Πυθαγόρειες σκέψεις εμφανίζονται στις εργασίες του Νικομάχου Γερασηνού, ιδιαίτερα στο "αριθμητική εισαγωγή", η οποία αποτέλεσε τη βάση του κειμένου του τέταρτου αιώνα μΧ. στο έργο του Ιάμβλιχου, "Τα Θεολογούμενα της Αριθμητικής". Αυτές οι αντιστοιχίες και αποδόσεις είναι οι ακόλουθες:
Μονάς: Ο Ζευς, ο Προμηθεύς και το Χάος
Δυάς: Η Μούσα Ερατώ, η Ίσις, η Ρέα, η δικαιοσύνη και η φύση
Τριάς: Η Εκάτη, η σωφροσύνη και οι τρεις φάσεις της Σελήνης.
Τετράς: Ο Ηρακλής, τα 4 στοιχεία, το δίκαιο και οι 4 εποχές.
Πεντάς: Η Νέμεσις, η Θεία Πρόνοια, η Αφροδίτη, η Αθηνά, η δικαιοσύνη, ο αιθήρ ή η πεμπτουσία, το πέμπτο στοιχείο (Πνεύμα).
Εξάς: Το Σύμπαν ή ο Κόσμος, η Μούσα Θάλεια και η αρμονία.
Επτάς: Η Αθηνά, η παρθενία και η τύχη.
Οκτάς: Η ευμετάβλητη φύση και η Μούσα Ευτέρπη.
Εννεάς: Ο Ωκεανός, ο Προμηθεύς, ο Ήφαιστος, η Ήρα και ο Υπερείων.
Οι Πυθαγόρειοι αναπαριστούσαν τους αριθμούς με υποδείγματα από στιγμές (τελείες), σαν αποτέλεσμα από ταξινομημένα χαλίκια σε τύπους. Για παράδειγμα, το 9 έχει 3 σειρές με 3 χαλίκια σε καθεμία, διαμορφώνοντας έτσι ένα τετράγωνο. Όμοια, το 10 έχει 4 σειρές που περιέχουν η κάθε μία, 1, 2, 3 και 4 χαλίκια ανά σειρά, διαμορφώνοντας ένα τρίγωνο.
Έτσι παρήγαγαν τις σχέσεις μεταξύ των αριθμών. Παραδείγματος χάριν, ένας τετράγωνος αριθμός μπορεί να υποδιαιρεθεί με μια διαγώνια γραμμή σε δύο τρίγωνα αριθμούς. Μπορούμε να πούμε πως ένας τετράγωνος αριθμός είναι πάντα το άθροισμα δύο τριγώνων αριθμών.
Έτσι, ο τετράγωνος αριθμός 25 είναι το άθροισμα του τρίγωνου αριθμού 10 και του τρίγωνου αριθμού 15.
Η Μυστική Τετρακτύς είναι ένας ιδιαίτερος τρίγωνος αριθμός, όμοιος με αυτόν του δέκα. Το όνομά της που σημαίνει σύνολο από τέσσερα πράγματα, μια λέξη που απέδωσε ο μαθηματικός Θέων. Οι Πυθαγόρειοι αναγνώριζαν δέκα τέτοια σύνολα.
Το σύνολο των δέκα πραγμάτων ή οι δέκα Τετρακτύες
Ο Ιάμβλιχος στο έργο του Περί του Πυθαγορικού βίου, ονομάζει την Τετρακτύ, Μαντείο Δελφών. Αναφέρει:
Κεφάλαιο 18, τμήμα 82 γραμμή 12
Το σύνολο τώρα όσων αποκαλούνται "ακούσματα" διαιρείται σε τρία είδη: στο πρώτο ανήκουν αυτά που υποδηλώνουν τι υπάρχει, στο δεύτερο ποιο είναι το πιο καλό και στο τρίτο τι πρέπει να πράττεται και τι όχι. Τα πρώτα λοιπόν, που αφορούν το τι υπάρχει, ομοιάζουν με τα εξής: Τι είναι τα Νησιά των Μακάρων; Ο ήλιος και η σελήνη. Τι είναι το μαντείο των Δελφών; Η τετρακτύς, πράγμα που σημαίνει η αρμονία, όπου βρίσκονται και οι Σειρήνες. Τα δεύτερα, μοιάζουν με τα εξής: Ποιο είναι το δικαιότερο; Το να θυσιάζεις. Ποιο είναι το πιο σοφό; Ο αριθμός. Και το δεύτερο, μετά τον αριθμό, είναι αυτό που θέτει ονόματα στα πράγματα. Ποιο είναι το σοφότερο για εμάς; Η ιατρική. Ποιο είναι το ωραιότερο; Η αρμονία. Ποιο το ισχυρότερο; Η γνώμη. Ποιο το καλύτερο; Η ευδαιμονία. Ποιο θεωρείται ως το πιο αληθινό; Ότι οι άνθρωποι είναι πονηροί. Για το λόγο αυτό λένε ότι ο Πυθαγόρας παίνεσε τον ποιητή, τον Ιπποδάμαντα τον Σαλαμίνιο, ο οποίος έγραψε:
Ω θεοί, από πού κατάγεστε;
Από πού γίνατε αυτοί που είστε;
Ω άνθρωποι, από πού κατάγεστε;
Από πού γίνατε τόσο κακοί;
Η Τετρακτύς θεωρείται από τους Πυθαγορείους ως η ρίζα, η πηγή κάθε δημιουργίας. Αποτελεί τον θεϊκότερο και ιερότερο όρκο τους και παριστάνεται με στιγμές, των οποίων η διάταξη κατασκευάζει τρίγωνον εντελές, δηλαδή ισοσκελές, του οποίου η κάθε πλευρά έχει τέσσερις στιγμές [Λουκιανού, Βίων πράσις, 4, 543.] Οι τέσσερις πρώτοι αριθμοί είναι αυτοί με τους οποίους ο κόσμος διοικείται με αρμονία, και η αρμονία αυτή είναι ένα σύστημα τριών συγχορδιών, της τετάρτης, της πέμπτης, της ογδόης και της διπλής ογδόης, των οποίων οι αναλογίες βρίσκονται στους τέσσερις πρώτους αριθμούς.
Η αρμονία αυτή, κατά τον Ιάμβλιχο, κυβερνά τη μουσική των ουράνιων σφαιρών, πάνω στις οποίες, σύμφωνα με τον Πλάτωνα, στέκεται μια Σειρήνα που τραγουδά σε μια συγκεκριμένη τονικότητα. οι σειρήνες είναι οκτώ (όσοι και οι φθόγγοι μιας οκτάβας και το τραγούδι τους δημιουργεί μια μοναδική αρμονία (Πλάτωνος Πολιτεία 617Β). Καθίσταται λοιπόν σαφές για ποιο λόγο ο Πυθαγόρας θεωρούσε την τετρακτύν ως το μαντείο των Δελφών: επειδή είναι η ουσιαστικότερη αλήθεια του σύμπαντος και το μαντείο έχει σκοπό να την αποκαλύπτει.
Στους τέσσερεις πρώτους αριθμούς των Πυθαγορείων αναφέρεται και ο Αριστοτέλης στο Περί Ψυχής, 404β. Ο Σταγειρίτης, επιχειρώντας να περιγράψει την παλαιότερη άποψη περί της ψυχής, μας παραπέμπει στο κατά πάσαν πιθανότητα Πυθαγορικό σύγγραμμα Περί Φιλοσοφίας. Σύμφωνα με το κείμενο λοιπόν αυτό, το ίδιο το έμψυχο ον απορρέει από την ιδέα του Ενός ή αλλιώς, ο Νους είναι το Ένα.
Η Επιστήμη, η γνώση δηλαδή, είναι το Δύο, επειδή μόνο κατά τον τρόπο αυτό πορεύεται προς τη μονάδα. Ο αριθμός της επιφάνειας είναι η γνώμη και ο αριθμός του όγκου η αίσθηση, καθώς, όπως έλεγαν, οι αριθμοί είναι οι μορφές καθεαυτές και οι αρχές και συγκροτούνται από στοιχεία.
Στο ίδιο ζήτημα αναφέρεται και ο Θέων ο Σμυρναίος, ο οποίος, αναφερόμενος στη Δεκάδα (ΙΙ, 37-49), αναγνωρίζει έντεκα διαφορετικές τετρακτύες ή τετράδες, αναλογικές όμως μεταξύ τους: τη θεμελιώδη (1+2+3+4) και οι πρωταρχικές συνηχήσεις της κλίμακας - όπως στον Σέξτο, της ψυχής του κόσμου [οι γεωμετρικές πρόοδοι με λόγο 2 (1, 2, 4, 8) και 3 (1, 3, 9, 27), τη φύση των μεγεθών (1=σημείο, 2=ευθεία γραμμή, 3=καμπύλη γραμμή, 4=επίπεδη επιφάνεια, 9=κυρτή επιφάνεια, 8=στερεό με κυρτή επιφάνεια, 27=στερεό με επίπεδη επιφάνεια), τα στοιχεία της φύσης (1φωτιά, 2αέρας, 3νερό, 4=γη), τα γεωμετρικά σχημάτα (1=πυραμίδα, 2=οκτάεδρο, 3=εικοσάεδρο, 4=κύβος), τα φυομένα (1=το σπέρμα που αντιστοιχεί στη μονάδα και το σημείο, 2=η αύξηση κατά μήκος στη δυάδα και στη γραμμή, 3=η αύξηση κατά πλάτος στην τριάδα, 4=η αύξηση κατά όγκο στην τετράδα και στο στερεό), τη γενετική ανάπτυξη της κοινωνίας (1=άνθρωπος, 2=οικογένεια, 3=κώμη, 4=πόλις), τις γνωστικές ιδιοτήτες (1=νους, 2=επιστήμη, 3=δόξα, 4=αίσθηση), τις διαστάσεις του έμψυχου όντος (1=λογιστικό, 2=θυμικό, 3=επιθυμητικό, 4=το σώμα ως τόπος διαμονής της ψυχής), τη διαδοχή του χρόνου (1=άνοιξη, 2=καλοκαίρι, 3=φθινόπωρο, 4=χειμώνας) και τέλος, τη προόδο των ηλικιών της ζωής (1=παιδική ηλικία, 2=εφηβεία, 3=ώριμη ηλικία, 4=γήρας).
Σύμφωνα με την Πυθαγόρεια φιλοσοφία η φύση μπορεί να γίνει κατανοητή μονάχα μέσω της αριθμητικής θεωρίας των αναλογιών σε σχέση με τη γεωμετρική μελέτη των στερεών. Οι Πυθαγόρειοι, λοιπόν, θεωρούν ότι όλα τα στερεά μπορούν να ελεγχθούν βάσει πέντε αρχικών κανονικών πολύεδρων σχημάτων. Ο Πλάτων, έτσι, στον Τίμαιο (54δ- 55δ), παρουσιάζει τα τέσσερα από τα πέντε κανονικά πολύεδρα σχήματα, (το κανονικό τετράεδρο, το κανονικό οκτάεδρο, το κανονικό εικοσάεδρο, και το εξάεδρο ή κύβο), των οποίων η συστατική μονάδα είναι το τρίγωνο (ορθογώνιο και ισόπλευρο).
Γίνεται ωστόσο λόγος και για τη σύσταση του πέμπτου πολύεδρου σχήματος, με την οποία ο Θεός προέβαλε το σύμπαν, διακοσμώντας και περιχαράσσοντάς το με αυτήν. Ο Σωκράτης στον Φαίδωνα, επιχειρώντας να παρουσιάσει τη γη, θα το "περιγράψει", ορίζοντάς την ως δωδεκάσπυτον πολύχρωμη σφαίρα (110β).
Το δωδεκάεδρο, ωστόσο, διακρίνεται από τα τέσσερα άλλα κανονικά στερεά, καθώς δεν σχηματίζεται από τρίγωνα αλλά από πεντάγωνα, των οποίων οι έδρες διαιρούνται σε δύο τρίγωνα από τη διαγώνιο του τετραγώνου, και των οποίων ο λόγος που προκύπτει από τη σχέση της πλευράς με τη διαγώνιο ισούται με τη Χρυσή Τομή (sectio aurea) ή την proportion divina(Θεία Αναλογία). Η συνένωση μάλιστα των κορυφών του πενταγώνου δημιουργεί πέντε ισοσκελή τρίγωνα σε σχήμα πεντάκτινου αστεριού, των οποίων οι πλευρές, καθώς τέμνονται, σχηματίζουν ένα μικρό αντεστραμμένο πεντάγωνο, το Πεντάγραμμα ή τη Πεντάλφα.
Ενώ όμως σύμφωνα με την πλατωνική θεωρία της δημιουργίας του σύμπαντος, η οποία αποδέχεται το συνδυασμό των τεσσάρων ριζωμάτων (της φωτιάς, της γης, του νερού και του αέρα), αυτή η πέμπτη σύσταση δεν φαίνεται να παίζει κάποιο ρόλο κατά τη φάση της δημιουργίας - ξεφεύγει ή βρίσκεται πέραν της διαδικασίας της μίξεως και ορίζεται ως Θεϊκή και εμπεριέχουσα των ριζωμάτων ή των παραγόμενων από αυτά στερεών, καθώς τα περιβάλλει και τα ενσωματώνει - σύμφωνα με τον Αριστοτέλη ορίζεται ως ένα πέμπτο "ρίζωμα"- στοιχείο, ως ο αιθέρας, που είναι το λεπτότερο όλων. Είναι η αρχή της κυκλικής κίνησης των άστρων και της ανθρώπινης ψυχής.
Τα Πλατωνικά στερεά σε σχέση με τα πέντε στοιχεία ή ριζώματα, από το βιβλίο του Κέπλερ, Harmonices Mundi. Ο Πυθαγόρας μετά τις μελέτες του σχετικά με τους αριθμούς, προχώρησε στην μελέτη της μουσικής. Δεν έβλεπε τη μουσική μόνο σαν μέσο ψυχαγωγίας, αλλά σαν αρμονία, μια αρχή που φέρνει την τάξη στο χάος και στην παραφωνία. Για τους Πυθαγορείους, η μουσική, όπως και οι αριθμοί, είχε διπλή δομή, όχι μόνο χρήσιμη και πρακτική, αλλά και μια φύση που αφήνει τους ανθρώπους να διαπιστώσουν τη δομή και τη φύση του σύμπαντος.
Ο Πυθαγόρας καθόρισε από μαθηματική άποψη τους οκτώ τόνους της κλίμακας. Ο Πυθαγόρας ανέπτυξε ακόμα μια ιδιαίτερη θεωρεία για την ψυχή και την μετενσάρκωση.
Οι Πυθαγορικές θεωρίες για την ψυχή αναπτύσσονται εκτενώς από τον Πλάτωνα στο έργο του "Φαίδων", αλλά επίσης και στο έργο του "Φαίδρος". Ο Πυθαγόρας επηρέασε τους μετέπειτα φιλοσόφους, οι οποίοι επέκτειναν την γνώση του κλασσικού κόσμου και άνοιξαν τον δρόμο για τις έπειτα φιλοσοφίες των Νεοπυθαγορείων και Νεοπλατωνιστών.
* Αν σας άρεσε το άρθρο κάντε ένα
like και κοινοποιήστε το στους φίλους σας!
astro.gr
defencenet
Η ΛΙΣΤΑ ΜΟΥ
